Spettro di potenza

In elettronica e teoria dei segnali un segnale può essere rappresentato come un vettore nello spazio complesso a infinite dimensioni, in particolare uno spazio di Hilbert.

Una volta introdotto l'apparato matematico vettoriale dei segnali nello spazio di Hilbert possiamo definire l'energia di un segnale come:

${\displaystyle E_{s}=\|\mathbf {s} \|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }s^{2}(t)\,dt}$

dove ${\displaystyle s(t)}$ è il segnale. Da notare che le energie non sono additive nello spazio di Hilbert dei segnali, infatti:

${\displaystyle \|\mathbf {s} _{1}+\mathbf {s} _{2}\|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\mathbf {s} _{1}+\mathbf {s} _{2}\right]^{2}\,dt=E_{s_{1}}+E_{s_{2}}+2\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{2}\,dt}$

dove il termine ${\displaystyle 2\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{2}\,dt}$ è chiamato termine di cross energy. Se il segnale è una tensione allora l'unità di misura dell'energia è ${\displaystyle [V^{2}\cdot s/\Omega ]}$, se invece è una corrente elettrica allora ${\displaystyle [A^{2}\cdot s/\Omega ]}$.